Une introduction élémentaire au 2-groupe de Grothendieck
(2016)
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- Vitale, Enrico
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- (fr) Le groupe de Grothendieck est une construction associant de façon universelle un groupe commutatif à tout groupoïde monoïdal symétrique. L'objectif de la thèse est d'étudier et de transposer aux structures algébriques 2-dimensionnelles le concept de groupe de Grothendieck. Pour cela, nous proposons une caractérisation de ceux-ci à l’aide des conoyaux des morphismes diagonaux : si M est un monoïde commutatif interne à une catégorie C, son groupe de Grothendieck est exactement le conoyau de sa diagonale. Cette caractérisation est encore valable dans le contexte plus riche des 2-catégories : pour un 2-monoïde symétrique M interne à une 2-catégorie, son 2-groupe de Grothendieck est exactement le 2-conoyau de sa diagonale. Dans la 2-catégorie des groupoïdes, nous donnons une description ensembliste des 2-conoyaux des morphismes de 2-monoïdes symétriques. Notre construction n'est à priori valable que pour des foncteurs identitaires sur la symétrie diagonale, c'est-à-dire tels que F(cM,M ) = id. Nous présentons une méthode universelle transformant tout morphisme de 2-monoïdes symétriques en un foncteur identitaire sur la symétrie diagonale et préservant les 2-conoyaux. En particulier, cette construction fournit une description générale des 2-groupes de Grothendieck L(M). Dans un dernier temps, nous classifions les 2-groupes de Grothendieck. Ainsi, nous établissons l'existence d'isomorphismes de groupes π0(L(M)) ≈ K0(M) et π1(L(M)) ≈ K1(M). K0 et K1 sont ici les deux premiers groupes de la K-théorie algébrique "à la Bass". Pour terminer, nous introduisons une suite exacte de la forme K1(M) → K1(N) → KF → K0(M) → K0(N). Contrairement à la suite exacte déjà connue de la K-théorie algébrique, celle-ci ne requiert pas d'hypothèse de cofinalité sur le foncteur F et en est une généralisation.
- Affiliations
Citations
Drugmand, C. (2016). Une introduction élémentaire au 2-groupe de Grothendieck. https://hdl.handle.net/2078.5/70395