Sulla rappresentabilità delle azioni interne di varietà di algebre non associative
(2023) Seminario Dottorandi di Algebra e Geometria 2023 — Location: Palermo, Italy (20.December.2023)
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- (other) È ben noto che nella categoria semi-abeliana Lie delle algebre di Lie su un campo F con char(F) ≠ 2, le azioni interne (o, equivalentemente, le estensioni spezzanti) sono rappresentate da derivazioni. Da un punto di vista categoriale, ciò è equivalente a dire che Lie ha le azioni rappresentabili e che l’oggetto rappresentante, chiamato attore, di un’algebra di Lie g è l’algebra di Lie delle derivazioni Der(g). È stato provato che la nozione di categoria semi-abeliana con azioni rappresentabili è piuttosto restrittiva: ad esempio, se una varietà non abeliana di algebre non associative V su un campo infinito F, con char(F) ≠ 2, ha le azioni rappresentabili, allora V = Lie. Recentemente G. Janelidze ha introdotto la nozione di categoria con azioni debolmente rappresentabili, la quale include una classe più ampia di categorie semi-abeliane, come la varietà Assoc delle algebre associative e la varietà Leib delle algebre di Leibniz. In questa esposizione si dimostrerà che, per una varietà algebricamente coerente e operadica di algebre non associative V e per un oggetto X di V, è possibile costruire un’algebra parziale E(X), chiamata attore debole esterno di X, e un monomorfismo naturale di funtori τ : Act(-, X) → Hom_PAlg(U(-), E(X)), dove PAlg è la categoria delle algebre parziali su F e U : V → PAlg denota il funtore dimenticante. La coppia (E(X), τ) è chiamata rappresentazione debole esterna di Act(-, X). Inoltre, per ogni altro oggetto B di V, si darà una caratterizzazione completa dei morfismi B → E(X) appartenenti all’immagine di τ_B, cioè degli omomorfismi che identificano le azioni di B su X in V. Infine, si darà un’applicazione di tale costruzione nel caso di varietà di algebre con unità: si dimostrerà che, se V = Alt è la varietà delle algebre alternative e X è un’algebra alternativa con unità, allora E(X) ≅ X è l’attore di X. In altre parole, le algebre alternative con unità, come ad esempio l’algebra O degli ottonioni, hanno le azioni rappresentabili. L’esposizione si basa su lavori congiunti con Alan S. Cigoli (Università degli Studi di Torino), Xabier García Martínez (Universidade de Vigo, Spagna), Giuseppe Metere (Università degli Studi di Palermo), Tim Van der Linden e Corentin Vienne (Université catholique de Louvain, Belgio).
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Citations
Mancini, M. (2023, December 20). Sulla rappresentabilità delle azioni interne di varietà di algebre non associative. Seminario Dottorandi di Algebra e Geometria 2023, Palermo, Italy. https://hdl.handle.net/2078.5/279076