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Van Schaftingen, Jean
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(fr) Le fait qu’il soit impossible de carreler une pièce ronde avec des carreaux carrés ou hexagonaux est interprété par les mathématicien·ne·s comme une obstruction homotopique à l’extension à tout le domaine d’une application à valeurs dans une variété, définie sur le bord d’un domaine. Dans cette thèse d’analyse géométrique qui utilise le langage des applications de Sobolev à valeurs dans un variété, nous adoptons un point de vue asymptotique sur ce phénomène, en décrivant des suites de problèmes de minimisation — des applications p-harmoniques en dimension 2 et 3, ou des fonctionnelles polaires convexes en dimension 2 — qui ignorent l’obstruction topologique. Ces problèmes sont indexés par un paramètre et convergent vers l’énergie quadratique de Dirichlet. En passant à la limite sur ce paramètre, nous construisons des suites d’applications qui convergent vers une application harmonique, en dehors d’un ensemble singulier. Cet ensemble est de dimension 0 en dimension 2 (un ensemble fini de points), et de dimension 1 en dimension 3 (un graphe qui est un varifold stationnaire). Nous décrivons de façon précise la convergence des solutions des problèmes paramétrés, ainsi que les propriétés minimisantes de l’ensemble singulier de l’application limite. En dimension 2, nous montrons que les applications limites minimisent une énergie renormalisée, déjà apparue dans le contexte de la fonctionnelle de Ginzburg–Landau, ce qui affirme son caractère universel. Enfin, nous donnons une description précise de l’extension d'une donnée au bord intégrable d’applications Sobolev à valeurs dans une variété, définies sur le bord d’un domaine ou sur un ruban infini, dont la dérivée faible est intégrable. Cette thèse compile quatre articles scientifiques rédigés pendant le doctorat et une introduction.
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Van Vaerenbergh, B. (2025). Asymptotic analysis of relaxed manifold constrained harmonic extension problems. https://hdl.handle.net/2078.5/274824